Aina M. González
1
, Magdalena Martí
1
, Ana Belén Petro
2
, Juan Vicente Riera
2,3
, Maria Àngels Rueda
4
, Daniel Ruiz-Aguilera
2
CEIP Marian Aguiló
1
, Universitat de les Illes Balears
2
, IES Bendinat
3
, CEIP Son Anglada
4
Societat Balear de Matemàtiques SBM-XEIX
1. Introducció
La matemàtica és una ciència lògico-deductiva que justifica la seva presència habitual en els plans d’estudis pel seu caràcter instrumental i per les capacitats que ajuda a desenvolupar en els infants, com ara: la d’argumentació o la de raonament formal o abstracte.
Les matemàtiques en el context escolar se solen presentar des de la perspectiva d’un conjunt de coneixements específics, o bé com un conjunt d’eines que permeten interpretar i descriure l’entorn quotidià. El problema que es presenta de manera sovint en el procés d’ensenyament-aprenentatge a les nostres aules, és que moltes d’aquestes idees que s’estableixen al currículum presenten dificultats d’aprenentatge degut, fonamentalment, a dos factors: per una part el nivell d’abstracció que requereix per a la seva comprensió i l’altra, la descontextualització que es pot produir en la introducció d’aquests continguts.
Per aquesta raó, diversos autors (Almosta, 1988) coincideixen en considerar “la manipulació una de les principals bases de la motivació, com una manifestació de la connexió de la matemàtica i la realitat i com un punt de partida del pas del concret a l’abstracte”. En aquesta mateixa direcció cal esmentar el treball d’Àngel Alsina (2010) en el qual, establint un paral·lelisme entre la ben coneguda piràmide nutricional, construeix el que anomena la
Piràmide d’Educació Matemàtica
:
-
La base d’aquesta piràmide, que representa els “nutrients” essencials de l’aprenentatge matemàtic, està formada per la introducció dels conceptes a partir de situacions quotidianes properes a l’entorn de l’infant, així com amb vivències amb el propi cos.
-
En el segon estadi d’aquesta piràmide es troben els recursos manipulatius, que seran l’eina que ens permetrà donar la primera passa cap a la comprensió dels conceptes. Segons Alsina, la manipulació amb materials diversos és essencial ja que l’acció sobre aquests objectes possibilita que els alumnes puguin elaborar esquemes mentals de coneixement.
Aquest darrer punt evidència la importància de l’ús de material manipulable com a eina facilitadora del procés d’aprenentatge dels infants. És per això que cal reflexionar sobre el seu ús dins les aules, el tipus existents, així com l’anàlisi de diferents metodologies que permetin introduir-los de manera natural a les aules.
Els punts d’aquest article tenen com a finalitat desenvolupar aquestes darreres idees: a la secció 2 es defineix què s’entén per material manipulable i es fa una petita classificació del mateix, a la secció 3 es presenta una proposta metodològica amb materials manipulables. Posteriorment, a la secció 4 es descriu amb més detall els reglets numèrics de Cuisenaire, com a exemple concret. Per finalitzar, a la darrera secció es presenta una sèrie d’experiències a centres que s’han desenvolupat en el marc de la formació de mestres que s’ha duit a terme durant el curs 2014-2015.
2. El material manipulable: una possible classificació
Si bé a la literatura podem trobar diferents definicions del que és un material manipulable (Alsina, 2010 i Aubanell, 2005), nosaltres proposam la següent definició:
Un material manipulable és qualsevol objecte que sigui susceptible de ser emprat a classe de matemàtiques amb la intenció d’introduir, consolidar o aprofundir un determinat contingut o idea matemàtica.
En funció de la naturalesa del material es pot fer la següent classificació:
-
Material no estructurat: són objectes d’ús corrent i molt propers a l’entorn quotidià de l’infant, tal com: botons, diaris, monedes, llapis…
-
Material estructurat: són objectes creats específicament per al treball de determinats conceptes matemàtics. Dins aquesta categoria podem trobar el comercialitzat en tendes especialitzades, com ara els reglets, geoplà, policubs, blocs lògics de Diennes, blocs multibase… Un altre tipus de material estructurat és aquell que està creat pel mestre amb una intencionalitat acadèmica, com per exemple: dòminos, bingos, cartes numèriques...
3. Una proposta metodològica amb materials manipulables
En aquest apartat es presenta una línia metodològica que es pot tenir en compte a l’hora d’introduir de manera habitual els recursos i materials manipulables a l’aula de matemàtiques.
Aquesta metodologia es basa en part en les fases d’aprenentatge proposades pel pedagog suís Jean Piaget (1896-1980). Cal tenir en compte que es tracta d’una metodologia adaptable en funció del material i les característiques dels infants.
- Familiarització. En aquesta primera fase es presenta el material de manera que els nins interactuen lliurement amb ell. La intenció d’aquest moment és la de proporcionar un apropament al recurs i les seves propietats: color, forma, material… D’aquesta manera ens permetrà plantejar, en un futur, activitats guiades que comencin a desenvolupar aspectes curriculars. El temps d’aquesta fase depèn del curs, del nivell, del tipus de material, i d’altres factors.
- Manipulació guiada.
Una vegada que els infants s’han familiaritzat amb el material, el mestre proposarà una tasca o qüestió. La forma d’introduir aquestes activitats es farà a partir d'instruccions concretes, simples i clares, de tal manera que l’infant mantengui la comprensió i l’objectiu proposat. En aquesta fase és primordial que l’alumne pugui autoavaluar la seva pròpia tasca, mitjançant la comprovació directa.
Un exemple, a Educació Infantil, amb els reglets numèrics es demana la construcció de la descomposició del 10: https://www.youtube.com/watch?v=H5gh0cISHD8
Un altre exemple, amb els policubs, es proposa la construcció d’una figura concreta:
https://www.youtube.com/watch?v=AYe2_y0HrMY - Expressió oral i escrita.
Una vegada resolta la tasca de manera manipulativa, l’objectiu de la següent fase és que l’infant faci una explicació oral d’allò que ha passat. Aquesta explicació es pot fer o bé a la parella, al petit grup o a la classe sencera, depenent de com s’hagi organitzat l’activitat. Un exemple, en el que els nins expliquen davant tota la classe com han fet una suma amb els reglets numèrics:
https://www.youtube.com/watch?v=1lhwTRZhg-Q
Posteriorment, en funció de la tipologia de l’alumnat es pot proposar que, a més, de la corresponent explicació oral del procés seguit, hi hagi una representació gràfica del material manipulat, que ajudi a representar els conceptes treballats, preàmbul del que serà la representació abstracta del concepte a treballar. Un exemple que es pot observar al següent vídeo, on els alumnes representen les taules de multiplicar construïdes amb reglets numèrics:
https://www.youtube.com/watch?v=z7xSg2XO7h8 - Simbòlica.
Després d’haver interioritzat els conceptes a partir de les fases anteriors, és el moment de emprar la terminologia pròpia matemàtica, a partir dels símbols i termes matemàtics. Aquest és el nivell que requereix d’una major abstracció. Aquesta darrera fase hauria de ser la darrera en el procés d’aprenentatge. Un exemple el podem veure en aquest vídeo, on es treballa de manera simbòlica les potències a 6è de primària:
https://www.youtube.com/watch?v=bw-6O1s5ANM
4. Els reglets numèrics: un exemple de material
Aquí pretenem mostrar la diversitat d’activitats que es poden realitzar amb els materials manipulables per ajudar a l'adquisició de la competència matemàtica.
Per exemplificar aquestes activitats hem triat com a material manipulable els reglets numèrics de Cuisenaire (el mateix valdria amb els reglets numèrics de Maria Antònia Canals). Els reglets numèrics són unes barres de fusta que tenen una longitud d’un a deu cm, on cada mida ve representada por un color. D’aquesta manera, el blanc representa 1 cm, el vermell 2 cm, el verd clar 3 cm, el rosa 4 cm, el groc 5 cm, el verd obscur 6 cm, el negre 7 cm, el marró 8 cm, el blau 9 cm i el taronja 10 cm.
Un dels primers objectius que cal assolir amb els reglets és aconseguir que els infants identifiquin el valor de cada un d’ells, és a dir, associïn color amb nombre. Això es pot assolir mitjançant activitats d’agrupació, d’ordenació, de classificació, de comparació... i de preguntes tipus: Quina diferència hi ha entre un reglet vermell i un rosa? Quants de reglets blancs necessit per fer un groc?
Una altra activitat molt interessant i que ens ajudarà a adquirir agilitat en el càlcul mental és la composició i descomposició. Per exemple, si agafam el reglet taronja (10) podem demanar als infants que cerquin dos reglets que siguin igual a 10. De quantes maneres possibles ho podem fer? La descomposició del 10 ens donarà peu a treballar amb nombres més grans, a problemes oberts i diversitat de respostes. A la pregunta: Com representaries el nombre 24? hi trobaríem multitud de respostes vàlides.
La descomposició dels nombres ens obrirà un gran ventall de continguts, com ara les operacions bàsiques de sumar, restar, multiplicar i dividir.
La suma és un dels continguts que es poden treballar mitjançant els reglets. Propostes com: «Agafau dos reglets qualssevol i posau-los a la taula fent una fila i cercau-ne un que sigui igual de llarg que els dos junts», ens poden ajudar a visualitzar aquesta operació. És important treballar a la inversa, és a dir, cercant dos reglets que junts facin una determinada quantitat. Cal remarcar que els reglets ens ajudaran a la visualització de les propietats de la suma, com ara la propietat commutativa o l’associativa.
Per treballar la resta, seguiríem la línia descrita anteriorment, posant el reglet corresponent al minuend a la taula, col·locant sota el reglet corresponent als subtrahend i els infants cercarien el reglet que falta per completar la igualtat.
Amb la multiplicació, el primer que cal tenir present, és que és una suma repetida. Així a la següent situació: He comprat 3 bosses de 5 caramels cada una, quants caramels tenim?, l’operació que ens demanen és “3 vegades 5”, 3x5, i se visualitzaria de la següent manera,
A més, els reglets ens permeten visualitzar fàcilment la propietat commutativa en les multiplicacions.
I un altre aspecte que es pot visualitzar amb els reglets sobre la multiplicació, és la creació de les taules de multiplicar, posant a la taula per columnes cadascuna d’elles i observant què és el que passa.
Quant a la divisió, els reglets numèrics dóna la possibilitat de visualitzar aquesta operació com a repartiment equitatiu entre quantitats.
Finalment, a més de tots aquests continguts, els reglets ens permeten treballar també els patrons, els múltiples, la divisibilitat, les potències, els nombres quadrats i cúbics i, moltes més possibilitats.
5. Experiències de formació per a mestres - Experiències a centres
Aquest curs s'han duit a terme dos cursos de formació al CEP, un a Palma i un altre a Inca, en els qual s'ha donat a conèixer possibilitats de treball de les matemàtiques a partir de diferents materials. La idea era aportar exemples i recursos per ajudar al professorat a dur a terme la tasca de fer descobrir les matemàtiques a partir del material. Així, un dels cursos estava destinat a tractar els nombres i les operacions i presentarem dinàmiques usant material estructurat (policubs, reglets i blocs multibase), material elaborat (bingos, cartes, dòminos) i diferents recursos digitals (applets). A l’altre curs, destinat a treballar la matemàtica competencial manipulativa, es presentaren activitats per dur a terme amb els policubs, els reglets, els geoplans, els àbacs, els bingos, les cartes, els jocs de taula i els dòminos.
Els mestres participants varen tenir una actitud molt oberta en tot moment i anaren aprenent les diferents possibilitats del material i com dur-ho a la pràctica al seu dia a dia. En finalitzar el curs, els participants varen exposar diferents propostes didàctiques que havien elaborat i duit a la pràctica a les seves aules, emprant algun dels materials presentats en el curs. Foren propostes molt interessants, amb les que el professorat va descobrir que l’interès i la motivació de l’alumnat augmentava quan s’usaven materials manipulatius per descobrir conceptes matemàtics nous.
Cridaren l’atenció algunes propostes en les quals alumnes de diferents cursos interactuaven entre ells per treballar amb el material manipulable. Per exemple, una proposta del CC La Porciúncula en la que els nins de tercer de Primària havien de presentar activitats usant els àbacs als nins de primer de Primària. Això implicava, en primer lloc, que els nins i nines majors comprenguessin perfectament el material i les activitats proposades i, en segon lloc, que fossin capaços d’explicar-lo als nins i nines més petits. A més a més, per als més petits, que les explicacions i les activitats, els fossin plantejades per alumnes més grans, els motivava i els feia posar una major atenció.
A altres centres es va seleccionar un dels materials. Per exemple, al CEIP Son Anglada seleccionaren el geoplà, i es va emprar per introduir nous conceptes com, per exemple, quadrilàters o angles. En aquesta pràctica també participaren conjuntament alumnes de diferents nivells, en aquest cas, de tercer i sisè de Primària. Algunes de les opinions dels alumnes foren:
-
“Hem après jugant”
-
“Tots hem participat”
-
“Es como si un niño no quiere una cosa y tú se la das sin que se dé cuenta”
-
“Han vingut els nins de 6è i hem col·laborat tots junts amb una activitat de matemàtiques”
-
“He après molt més del que sabia”
-
“Així les matemàtiques són divertides”
A una altra de les propostes, la del CEIP Bartomeu Ordines, el material utilitzat foren els policubs. Es va emprar aquest material per introduir el concepte de fracció a quart d'educació primària. Aquests nins i nines, després de passar per la familiarització i de la manipulació guiada amb el material, havien de realitzar una tasca de representació dels elements d’un cert conjunt de dades. A les imatges es poden observar les diferents representacions que realitzaren els alumnes. A partir de les mateixes, es podia parlar de quina era la representació més comprensible i més senzilla per poder representar una fracció.
Bibliografia
-
ALMOSTA, Grup. Més de 7 materials per a l’Aprenentatge de la Matemàtica. Dossiers Rosa Sensat 37, 1988.
-
ALSINA, Àngel. La «pirámide de la educación matemática». Aula de Innovación Educativa 189, 12-16, 2010.
-
ALSINA, C., BURGUÉS, C. i FORTUNY, J.M. Materiales para construir la geometria. Matemáticas: cultura y aprendizaje. Síntesi, 1991.
-
AUBANELL, Anton. Materials experimentals per al laboratori de matemàtiques. Biaix 23, 75-81, 2005.
