Xavier Vilella Miró
“El que caracteritza la vida en societat no és tant callar
i obeir, com participar,
i la primera
forma de participació és la paraula, el diàleg i les decisions
que
d’ell se’n desprenen”
Paulo Freire
“Ah, és clar,
ara ho veig!”
Ara ho veu,
abans no ho veia. Quan aquesta afirmació, veritable declaració pública d’haver
arribat a
un punt final en
la comprensió, apareix de forma espontània a l’aula de
matemàtiques, enmig d’un diàleg entre alumnes (o amb el professor o
professora), acostuma
a indicar que algun aspecte del coneixement matemàtic ha trobat on col·locar-se en la xarxa de
coneixement d’un alumne, ha passat de ser informació a coneixement.
Si s’han establert les
connexions entre el
nou
coneixement i els coneixements previs dels que disposava l’alumne, la
xarxa personal, s’està construint coneixement matemàtic.
En una entrevista vaig escoltar Jorge Wagensberg dir que un bon educador és, sobretot, un bon proveïdor d’estímuls. Cal que ens preguntem: quina
mena
d’estímuls hem de proveir a l’aula
de
matemàtiques? I per obtenir quins resultats?
El diàleg entre iguals
que
condueix a la construcció de
coneixement matemàtic acostuma
a donar-se de forma espontània
per
part de l‘alumnat si es troba en
la situació adient. El paper
del professorat no és conduir
l’alumnat per un diàleg previst -programat prèviament pel
professor-
sinó
afavorir que flueixi allò que es troba a l’interior del cap de l’alumne,
en
una interacció que mai no podrem saber
del tot cert per
on
anirà i on acabarà. Aquí està l’oportunitat i
la fortalesa i, alhora, la
feblesa del mètode dialògic.
Per
tant, caldrà mesurar
amb molta cura la intervenció del
professor
perquè, a destemps,
pot tallar la riquesa i la
creativitat de l’alumnat.
En canvi, una intervenció oportuna
pot
conduir (o reconduir) el
diàleg entre iguals
cap a la desitjada construcció del
coneixement matemàtic.
Condicions per a un diàleg constructiu a l’aula
El primer que cal fer és preparar una
bona
proposta de tasca, enriquida1 des del punt de vista del
desenvolupament de les competències matemàtiques, que contingui repte matemàtic (Burgos i altres, 2006).
També cal establir de
comú acord amb
l’alumnat les condicions
que
permetin un debat que
porti
a construir col·lectivament coneixement matemàtic.
Aquestes condicions
són:
- A
la classe de matemàtiques
només parla una persona, sigui
el professor o sigui un
alumne. Quan una
persona parla, les
altres escoltem.
1 Les característiques d’aquesta mena de tasques riques es poden trobar a
l’article “La participación en
el
aula de matemáticas”, esmentat a la bibliografía.
- Si qualsevol
de nosaltres vol
dir alguna cosa (perquè no està d’acord amb qui
ha parlat, perquè vol
demanar un
aclariment, perquè vol ampliar
el que s’ha dit...), aixeca la mà
i espera que se li concedeixi la paraula.
- Quan escoltem
una persona que parla
reflexionem sobre le que diu: no estem
esperant a que acabi per dir la nostra
sinó que intentem esbrinar
si el que s’ha dit fa innecessària
la nostra intervenció, o bé podem lligar el que volem dir amb el ens ha precedit, o bé contradirem algun dels
arguments escoltats.
- Quan una
persona surt a la pissarra i exposa
el que pensa escrivint, operant,
argumentant davant de tota
la classe, deixarem que acabi d’exposar la seva opinió i, si no hi estem d’acord, aixecarem la mà: serà l’alumne que ha
sortit qui donarà la
paraula
a un company o companya, escoltarà el
que
li ha de dir, i mostrarà el
seu
acord
o el seu desacord amb ell o ella. Llavors
podrà donar la paraula a un
altre company o
companya.
- En el moment
que
s’arribi a un acord, s’acabarà el debat.
Aquestes condicions
s’ha d’intentar negociar-les
amb
l’alumnat. Per exemple, una
bona
manera
de
fer-ho és plantejar
el tema a la classe i esperar (de forma conduïda, si cal)
que
ells i elles vagin plantejant-les perquè les vegin molt raonables.
Primer exemple: La fracció que més s’acosta
a 0
|
Professor:
“Escriu fraccions pròximes a
0”
Alumnes van dient 1/10, 1/30, 1/1 milió ...
Nil: “La fracció més pròxima
a zero és 1/∞, oi, Xavier?”
Alguns companys li demanen
explicacions, surt a
la pissarra
i fa una representació. Primer dibuixa una
recta, marca 0 i 1,
i en fa meitats i terços,
i diu:
Nil: ”Si anem dividint per nombres cada vegada més grans,
ens
acostem a zero; la fracció que té el
denominador més
gran serà dividida per infinit
i per tant, la més pròxima zero
és
1/ ∞ “
Discutim si és una
fracció, quina mena
de nombres hi ha en el
numerador
i en el denominador,
i
si l’infinit, tot i disposar d’un
símbol, és un nombre o no.
L’ensenyament
de
les matemàtiques en un aula determina
l’aprenentatge que s’hi
pot produir.
Si
el que pretenem és que l’alumnat construeixi coneixement matemàtic, caldrà ensenyar
d’una determinada manera,
ben diferent de la manera com ensenyarem si el que volem és que
hi hagi reproducció del que el professor o professora
presenta.
Si
el que volem és que el
nou coneixement matemàtic es relacioni
amb coherència amb el
que ja sap l’alumne, permetent que d’aquesta manera es reestructurin el
seus esquemes mentals,
caldrà que plantegem una situació que ho faciliti.
Aquestes situacions
es basaran en
l’activitat de l’alumnat, però això no vol dir
necessàriament activitat manipulativa
o exploratória compulsiva, sinó més aviat activitat interna, basada en les
connexions
i les reflexions. La
interacció entre alumnes i entre professor i alumnes és
una de les formes més indicades de promoure aquestes connexions i reflexions.
El paper del professor és actiu i significatiu
La intervenció del
professor
o professora durant el debat és un punt molt important: com ja he
dit abans, cal tobar el moment
adequat per intervenir, si és que cal fer-ho. Des del punt de
vista del que es vol aconseguir
en aquesta proposta que presento, el
fet
que
un alumne cometi un error en una argumentació, per exemple, no implica
necessàriament que el professor hagi
de rectificar-lo immediatament. Ben
al contrari,
el que interessa és
veure si alguna
persona de la classe se n’adona
i intervé per entrar en debat o per comunicar
la seva
opinió.
No
aconseguirem desenvolupar
l’esperit crític ni les opinions
personals en
l’alumnat, de
les que parla Skovmose (1994), si
no
els deixem equivocar-se i
rectificar gràcies al debat ente
iguals.
Al final dels
debats, al final de la
sessió de classe, o quan ho cregui
oportú el
professor, convé fer una
intervenció que reculli el
que ha passat, el
que
ha sortit en forma d’arguments, el
que s’ha conclòs, i
estructurar el
coneixement adquirit.
Si cal, és en aquesta intervenció on el
professor
pot arrodonir
el debat
i els seus resultats, omplir els buits
que
encara hagin quedat.
Aquesta intervenció del professor
quedarà lluny de la tradicional classe magistral
perquè es produeix després del debat,
el que afavoreix que l’alumnat pugui trobar
amb més facilitat els
punts d’enllaç entre el seu pensament i les
idees que presenta -que completa- el professor.
Durant el debat,
cal anar prenent nota del que cada alumne ens està mostrant: la construcció
del
coneixement matemàtic i
el desenvolupament
de
les competències no es
pot
veure de forma directa, cal observar-lo en les intervencions de tota mena que es van produint a
l’aula.
També en
les
produccions escrites (quaderns
d’aula, apunts, treballs, exàmens).
Però les anotacions
d’aquests debats són una eina fonamental per a l’avaluació.
En aquest article no podré desenvolupar
més
aquest aspecte, però puc assegurar
que
el desenvolupament de
les habilitats del
professorat per fer
anotacions d’aquesta mena durant les classes de matemàtiques és
un objectiu
constant
en les meves sessions
de formació del
professorat.
El diàleg que ens porta més enllà del
que havíem previst
No
és gens estrany que un debat
ente iguals a
classe vagi molt més enllà del
contingut que el
professor
pensava donar. Aquesta és una
situació que pot resultar complicada
pel professor o professora, perquè anem justos
de
temps, no volem allargar-nos massa en un tema
determinat, tenim programats uns continguts per a determinades hores, etc. La veritat és que aquest problema no té una resposta única perquè penso que depèn
de
cada cas. En molts casos que jo he viscut, el
debat m’ha mostrat nous camins per ensenyar
un contingut, o bé
algunes causes de les dificultats que representa l’aprenentatge d’un contingut per
a alguns alumnes, o bé he vist clar que el sostre del que podia donar
era més alt del
que
em pensava.
En el segon exemple
que
presento a continuació es pot observar,entre d’altres aspectes,
com
alumnes de 2n
d’ESO poden anar molt més lluny del
que
ens indica el currículum oficial de
la ESO.
Per
tant, el que aconsello és
que
el professor o professora decideixi en
cada cas el que cregui més oportú, tenint en compte les possibilitats que el debat en tre iguals ens
pot
oferir.
Segon exemple: Duplicar
la
longitud dels costats d’un quadrat
2n d’ESO. Primer tema
del curs, primer dia
de
classe.
Professor: “Pensa en un quadrat,
imagina-te’l. Ara, dobla
la longitud dels seus costats,
conservant la forma quadrada.
Te’ls imagines doblats? Val, ara
pensa: si a l’àrea del
quadrat
que
has pensat inicialment li
donem el valor d’1, quina àrea
té el quadrat de costats doblats?”
El professor anota les propostes de resultat
a la pissarra
i invita a que cada
resultat sigui defensat per una
persona de la
clase:
|
– Pep: “2”
– Marina: “8”
– Hajar: “4”
– Andy: “0,5”
La Núria
(proposta de resultat 1) surt a la
pissarra i dibuixa
un quadrat:
Seguidament, a l’ordre “Dobla els seus costats” dibuixa això:
|
La Mariona li explica:”El que has
fet
és tallar els costats per la
meitat, però no tens
8 costats,
en tens 4 com abans i no són més llargs”
La Núria ho ha
comprés de seguida: “És veritat! Això no és doblar els costats.
No
és 1”
|
Pep: “Ui, no, no és un
quadrat, m’he equivocat,
és 4”
Llavors dibuixa
les
línies discontínues i escriu els nombres.
La Marina, que pensava
defensar el
resultat 8, demana
la paraula per rectificar abans
de sortir
a la pissarra i explica que havia
doblat el nombre de costats, no la llargària. Hajar, que havia de
defensar el
valor 4,
afirma que ja
ho ha fet en Pep.
Queda l’Andy,
que
defensa el valor 0,5.
Em
crida fortament l’atenció aquest resultat. La seva argumentació és la següent:
L’Andy surt a la
pissarra i dibuixa un
quadrat. Quan ha de doblar els
costats doblega
els costats
cap
a dins, i afirma, coherentment amb
aquesta interpretació de l’enunciat,
que:
- La
figura que li dóna és un quadrat
- La
seva
área
és ara la meitat de la inicial: 0,5
En
Manel li critica aquesta interpretació: “Això
que
has fet és doblegar les puntes, el
que
havies de fer era doblar la longitud dels costats”
L’Andy admet la crítica,
però
diu que és un
quadrat
i el
resultat és correcte però no per aquest
problema.
El professor assenyala que dins de la seva interpretació el que afirma és correcte, encara que no era el
que
esperava de la interpretació de l’enunciat.
La seqüència de classe segueix així:
Professor: “Què passaria amb
l’àrea si tripliquem la llargària
dels costats?” Mariona: “Serà 6”
Robert: “No, serà 12” Irene: “Serà 9”
Josep: “12 no pot ser, tornes a
triplicar el número de costats”
Robert: “6 tampoc no és, perquè n’hi
caben més”, surt
a la
pissarra i dibuixa:
Assentiment general, ningú demana cap aclariment.
Seguim amb la
petita
investigació.
Professor: “I
si quadrupliquem els costats?”
Diversos
alumnes: “16”.
Bona
part de la classe dóna l’aprovació afirmant movent el cap amunt i
avall.
Professor: “I
si quintupliquem els costats?” Molts alumnes: “25”
Professor: “Prepareu una
taula
amb
els valors d’increment de costat i el
seu
corresponent
increment d’àrea”
El que surt s’assembla
a això:
costat àrea
2
|
4
|
3
|
9
|
4
|
16
|
5
|
25
|
Professor: “Mireu de descobrir-hi algun patró” (els patrons s’han treballat a primer d’ESO
especialment amb els projectes matemàtics)
Josep: “El primer surt sumant 2 i 2,
però el segon
no”
Marina: “Multiplicant surten tots: 2 per 2, 3 per 3,
4 per 4…”
Hajar: “Això
no és allò de…?” i amb un dit
dibuixa a l’aire el símbol
d’una arrel
Professor: “Què en
penseu? És l’arrel
quadrada?”
Molts alumnes afirmen que és elevar al quadrat. El professor demana que posin una nova
columna a la taula
utilitzant la representació en
forma de potència.
costat àrea àrea
= costat2
2
|
4
|
22
|
3
|
9
|
32
|
4
|
16
|
42
|
5
|
25
|
52
|
Professor: “Representeu les dades de la taula en un gràfic. A l’eix horitzontal poseu els
increments del costat i a l’eix vertical els increments de l’àrea. Una vegada ho tingueu,
intenteu esbrinar quina mena de línia és”
L’alumnat ho va fent, alguns amb ajuda del professor, i s’adonen de seguida que la línia no és,
com habituament, una recta
sinó una corba estranya. Demanen si està ben
fet…
Una vegada feta a mà, se’ls demana que representin el mateix amb Geogebra (apareix la
paràbola
sencera i genera noves preguntes en l’alumnat més competent)
Podem, finalment, establir una comparació entre situacions lineals i proporcionals, i situacions quadràtiques.
A1: “Per què surten dues branques en el Geogebra? A mi m’ha sortit una branca a la
llibreta...”
A2: “És com un mirall, hi ha valors
a dreta i esquerra” A1:
“No ho entenc”
A2: “Un mirall, tant
podem elevar
al quadrat els positius com els negatius” A3: “Però llavors, si fos
com un mirall, també hauria d’anar
cap avall”
...
A4: “Amb els
quadrats, no pot ser avall”
P:
”I si no fossin quadrats?”
A4: “Podríem elevar el
costat al cub...” P: ·Què
ens sortirà?”
A4: “Una
branca anirà amunt i l’altra anirà avall”
Valors d'Y
10
5
0
|
Professor: “Hi ha altres situacions
que
es resolen amb aquesta
relació”
Poden buscar-les a Internet. També se’ls anima a què inventin una situació problemàtica que
es resolgui amb aquesta
relació.
Tercer exemple:
L’ull d’horus i l‘infinit
Es
presenta l’ull d’Horus
en
una clase de 1r d’ESO.
Es demana
que
es fixin en les fraccions que
|
S’adonen
de la relació entre les
fraccions, i cal
aclarir quines són el doble o la meitat de quines. Posteriorment, es planteja
què
creuen que donarà la
suma de totes elles: alguns alumnes intueixen
que
donarà 1.
P: “Suma
les fraccions representades
a l’ull
d’Horus”
Passa alguna cosa… No dóna 1. Intenten sumar
una
meitat de l’última
fracció, discuteixen la fracció que segueix, acorden que és 1/128
Abans que facin la prova de sumar el 128è, se’ls
proposa que hi
pensin un moment, que
facin una previsió del què passarà.
Professor: “Si afegim 1/128,
aconseguirem arribar a l’ull sencer, a l’1?”
Rebeca: “... és infinit!!”
Jaume: “No arribarem, perquè ens faltarà
un altre 128è” P: “I
si afegim 1/256,
arribem a 1?”
Rebeca: “No, mai arribarem, ho podem fer tantes vegades com vulguem, no hi arribarem mai:
és
infinit”
Hem d’ensenyar a dialogar a l’aula de matemàtiques?
Freire (1997) afirmava que a
dialogar, se n’aprén. Dialogar
implica
una disciplina força exigent: cal escoltar, i cal parlar. Totes dues accions són complexes i cada
persona les viu de maneres molt diferents.
A més, cal
saber centrar-se en
un problema definit i concret. Tenia
raó Freire: des de l’aula de matemàtiques (no solament des
d’aquesta aula, però és molt important per a
l’aprenentatge matemàtic que també des d’ella) hem d’ajudar a l’aprenentatge
del diàleg.
Tanmateix, Flecha (1997) i altres
han insistit que un aprenentatge dialògic facilita
que l’alumne prengui consciència del
seu procés d’aprenentatge, metareflexiu.
I això passa en un ambient en el que es va consolidant el pensament
argumentatiu
i crític.
Mesurar la superfície d’algunes illes gregues i comparar-lo
En el tema
de la mesura de la superficie, a 1r dESO, se’ls planteja
com mesurarien l’àrea algunes illes
gregues que se’ls
presenten en paper. Disposen, a la
taula del professor, de fil de
cosir, transparència
amb una quadrícula, regles, compassos...
i poden agafar qualsevol d’aquests materials
si creuen que els poden ser d’utilitat. No se’ls indica cap utilitat concreta
per
part del professorat. Treballen una
estona, primer individualment,
després en petits
grups.
Finalment, posada en comú.
Ferran: “Jo crec que el paper quadriculat
serveix per a posar-lo al
damunt de l’illa i
comptar els quadrets”
Edgard: “I què fas
quan un quadret té terra i
té
aigua?”
Ferran: “El que he fet jo ha estat comptar-los també”
Josep: “D’acord, però jo no estic d’acord amb en Ferran, aquest mètode és molt
poc exacte. Jo crec que el que s’ha de fer és que si
un quadret té la meitat de terra
i la meitat d’aigua, cal ajuntar-lo amb un altre que tingui el
mateix i així comptes un sol quadret”
Ferran: ”No crec que hi hagi problema
amb el meu mètode perquè si fas
el
mateix a
totes les illes
es corregeix l’error i sortirà bé
la comparació”
Alba: “Jo estic d’acord amb en Josep,
perquè si comptes l’aigua
dels quadrets de la costa, la mesura de l’illa et sortirà més gran,
i si
ho fas a totes, doncs
totes les mesures seran
massa grans”
Jaume:
“Jo estic d’acord amb en
Ferran. Això d’ajuntar
trossets és poc exacte, perquè
(dibuixa
a la pissarra un exemple) mai
no saps quants trossetsde mar hi
ha a cada quadret“
Josep: “Segueixo pensant que la meva proposta és millor, el que cal és agafar quadrets
més
petits quan arribes a la
costa, i així
la part que agafes de mar és molt
petita”
Edgard: “Però, com comptaràs aquests quadrets petits? Com saps
quina
part són dels quadrets grans?”
Toni: “Jo també opino que serà molt complicat de comptar els
quadrets més petits”
Jaume: “Només vull
dir que ara he canviat d’opinió. El que ha proposat en Josep m’ha convençut.
Recordo que per
mesurar l’amplària de la classe,
quan arribem al final i no hi cap una passa, agafem, mitja
passa, i un quart de passa i així. És el mateix amb els
quadrets”
Javier:
“Puc sortir a la
pissarra?” (surt i
fa dibuixos sobre com fer quadrets més petits i comptar-los) “Tenim els quadrets grans que tenen terra. Ara
arribem a la costa i passa
això (dibuix de quadrets amb mar) Ara agafem el quadret i el partim en quatre parts, per exemple.
Ja deixem molt de mar
fora
i la mesura és molt més exacta”
Es
nota a la classe un moviment de confirmació del
que diu en Javier. Discuteixen sobre
com
aplicar aquest mètode de fer-ne quadrets de costat més petit i de com comptar-los.
El
professor intervé per mostrar com es fan les
subdivisions del quadret inicial en el
sistema mètric
decimal: un dm2 conté 100 cm2, etc. Llavors intervé l’Esther:
Esther:
“Això és així com la forma fractal, que vam estudiar, oi?”
Esther: 3 suspensos en
el primer trimestre, suspeses les matemàtiques, habitualment
poca
participació... Recorda i connecta
amb el que han treballat mesos abans, les formes i la funció
que fan a la natura i
a la societat. Una de les formes estudiades fou la
forma fractal.
Dialogar a l’aula obre moltes possibilitats
Si desitgem que els
nostres alumnes ordenin el
seu pensament i argumentin les
seves opinions quan els
ho proposem,
cal
que se’ls demani sistemàticament que justifiquin les seves respostes, i que comentin les respostes dels altres.
D’aquesta manera s’anirà establint el costum de pensar
en els arguments sempre que s’arriba
a una
solució.
Una vegada s’han
establert alguns debats a l’aula, l’alumnat arriba a comprendre fins a quin punt el treball col·laboratiu pot ajudar en
l’exploració i solució de problemes matemàtics.
En les situacions de treball en petit grup posteriors a aquests
debats es pot observar una
millora en la relació col·laborativa de molts i moltes
alumnes, que han comprès millor que abans quines intervencions en l’equip donen
bons resultats.
Respecte del professorat, convé estar més pendent
de la utilització del diàleg per
implicar l’alumnat en el pensament matemàtic que de tractar d’obtenir
ràpidament respostes
correctes. El
camí
pel qual l’alumnat arribi a les respostes
correctes
pot
ser la diferència entre
aconseguir un nivell alt, connectiu i
reflexiu, o un nivell
baix, purament reproductiu.
També es pot observar una
millora
en l’evolució de les representacions
de l’alumnat2, que
s’explica
per
la negociació de significats que s’estableix a l’aula en els debats entre iguals.
D’altra banda, quan
el professor o
la professora escolta
les aportacions de l’alumnat hi pot haver un canvi en
la seva manera
de
veure algun aspecte de l’aprenentatge dels seus
alumnes. La millor manera
de conèixer com pensa
un
alumne consisteix en
el fet que produeixi algun tipus de
missatge oral o escrit, que ens doni pistes del recorregut de les seves idees sobre el problema
plantejat. Aquesta ruta
mental ens
pot ajudar
a descobrir com donar suport en el punt
adequat i preparar la bastida per ajudar-lo a avançar.
El diàleg a l’aula, connectat amb el tractament de l’error
i l’atenció
a la diversitat
La forma d’interaccionar més habitual
en el tracte entre persones és el
diàleg. Parlar,
escoltar, decidir si estàs d’acord o no amb el que escoltes, criticar, donar suport, argumentar... Habermas (1987) afirma, en la
seva
teoria de la competència comunicativa, que totes les persones són capaces de comunicar-se i
generar accions.
Per
tant, cal que a
l’aula de matemàtiques tingui
tothom oportunitats de posar en pràctica aquestes habilitats
comunicatives.
I aquest diàleg
que
produeix aprenentatge és capaç
de
transformar
les relacions entre les persones i el
seu entorn.
No
és aquest un dels objectius fonamentals
de l’educació, en general,
i de l’educació
matemàtica,
en
particular?
Si, com afirma Goffman
(1970), les persones actuen
i construeixen
la realitat en funció de les
regles del context i de les expectatives dels altres, resulta essencial
que el professorat mostri
una actitud de respecte i d’interès vers les opinions que l’alumnat defensi
a classe de matemàtiques, destacant
especialment aquelles opinions basades en argumentacions sòlides
(equivocades o no) que apareguin en el
diàleg
promogut per la proposta del professorat.
De
la mateixa manera, els estereotips
a classe influeixen l’alumnat, i per
fer
una correcta atenció
de les diversitats que són presents en qualsevol
grup classe3,
caldrà que el diàleg
estigui
present de forma habitual, promovent, entre d’altres, hàbits de
correcció, respecte als errors de companys i companyes, crítica argumentada de les opinions amb les
que
no estem d’acord, ordre en
les intervencions, tancament de les discussions
amb
una conclusió que hem de recollir de forma
escrita.
Per
anar construint un aula inclusiva
haurem d‘escoltar
tothom i discutir totes les aportacions. No importa qui
les fa, totes mereixen
la nostra atenció, sense fer cap cas de les etiquetes
habituals.
La idea forta és que totes les persones saben matemàtiques, poden aprendre
matemàtiques i poden
comunicar
les seves idees als altres.
El procés d’aprenentatge inclou
2 En el capítol titulat “Teacher-researchers and
encultured
negotiation
of
meanings” del Handbook
of mathematics Teaching Research (2008), esmentat a la bibliografia hi ha
exemples de situacions d’aula en
els
que es pot veure aquesta evolució de les representacions i la corresponent anàlisi.
3 En el meu llibre “Matemáticas para
todos. Enseñar en un aula
multicultural”, esmentat
a la bibliografia, es pot
trobar un extens anàlisi i algunes propostes per afrontar el repte de la diversitat
a l’aula de matemàtiques.
necessàriament reflexionar,
prendre posició,
i contrastar: l’error forma part d’aquest procés i de l’error n’aprenem si som capaços d’analitzar-lo i
repensar el camí seguit.
Xavier Vilella Miró
Bibliografia
Alrѳ, H.,
Skovmose, O (2003): Dialogue and learning in
Mathematics Education.
Intention, Reflexions, Critique.
Mathematics Education Library.
Kluwer, Dordrecht
Bishop,
A.J. (1999): Enculturación
Matemática. La Educación Matemática desde una perspectiva multicultural. Temas de Educación. Paidós, Barcelona.
Burgos,
S., Domínguez, M., Rojas, F.J.,
Planas, N.,
Vilella, X. (2006): “La
participación en el aula
de
matemáticas” Aula
de
Innovación Educativa, núm. 232, pp. 49-62
Euclides Filosofo: Los seis
libros primeros de la
Geometria de Euclides, traducción de Rodrigo
Zamorano en 1576. Ediciones Universidad de Salamanca. Salamanca, 1999
Flecha,
R. (1997): Compartiendo Palabras.
Barcelona: Paidós. Freire, P.
(1997): A
la sombra
de este árbol.
El Roure, Barcelona.
Goffman, E. (1970): Ritual
de la interacción. Tiempo Contemporaneo, Buenos Aires.
Gorgorió,
N.;
Planas, N.; Vilella,
X.(2002): “Inmigrant children learning mathematics in mainstream schools”. Capítol
2 a
Transitions Between Contexts of Mathematical Practices,
editat per Guida d’Abreu,
Alan J. Bishop i Norma Presmeg. Mathematics Education Library.
Kluwer, Dordrecht.
Habermas, J. (1987): Teoría de la acción comunicativa. Tomos
I y
II Madrid: Taurus.
Planas, N.,
Gorgorió, N. (2004): “Interacción, negociación y diálogo en el aula
de matemáticas”
Aula
de
Innovación Educativa, núm. 132, pp. 22-26.
Skovmose, O. (1994): Towards a Philosophy of
Critical Mathematics Education. Mathematics
Education Library. Kluwer, Dordrecht
Vilella, X., Giménez,
J. (2008): “Teacher researcher amb
encultured
negotiation of meanings” In
Bronislaw Czarnocha (Ed.) Handbook of Mathematics Teaching Research: Teaching Experiment
– A
tool for Teacher-Researchers. University of
Rzeszów. Kraków.
Vilella,
X. (2007): Matemáticas para todos. Enseñar en un aula
multicultural. Cuadernos
de
Educación,
núm.
53. ICE-UAB, HORSORI, Barcelona.
